Paradoxo

  Paradoxo do cavalo

      O paradoxo do cavalo é um paradoxo que surge pela falsa demonstração da proposição: 'Todos os cavalos são da mesma cor', para a qual se usa o princípio da indução matemática.

      Como caso de base, nós podemos observar que num conjunto que contém um único cavalo, todos os cavalos são claramente da mesma cor. Se supusermos que a proposição é verdadeira para todos os conjuntos de dimensão inferior a n e para os de dimensão n, então se houver n+1 cavalos num conjunto, retiramos um deles para obter um conjunto resultante com n cavalos, e pela suposição de indução, todos os cavalos nesse conjunto são da mesma cor.

      Fica por demonstrar que esta cor é a mesma que a do cavalo que retiramos. O correcto a fazer é devolver o primeiro cavalo, retirar outro e aplicar outra vez o principio da indução a este conjunto de n cavalos. Assim todos os cavalos num conjunto de n+1 cavalos são da mesma cor. Pelo princípio de indução, estabelecemos que todos os cavalos são da mesma cor.

     O erro na "demonstração" anterior descobre-se ao analisar o raciocínio: faz-se a suposição implícita de que os dois subconjuntos de cavalos aos quais se aplicou a suposição de indução têm um elemento comum, mas isto falha quando n=2.

     Este paradoxo é simplesmente o resultado de um raciocínio erróneo. Mostra assim os problemas que se produzem quando se deixam de considerar casos específicos para os quais uma proposição geral pode ser falsa.

  Paradoxo de Grelling-Nelson

     O paradoxo de Grelling-Nelson é um paradoxo formulado em 1908 por Kurt Grelling e Leonard Nelson. É uma reformulação do paradoxo do barbeiro e do paradoxo de Russell.

     O paradoxo utiliza as palavras inventadas "autológico" e "heterológico". Uma palavra é autológica se descreve a si mesma. As palavras que não são autológicas, ou seja, que não qualificam a si mesmas, denominam-se heterológicas. Por exemplo "real" é autológica, já que a palavra "real" é real. "Sofisticado" também é autológica, já que é uma palavra sofisticada. "Palavra" é autológica, já que é uma palavra. "Substantivo" é autológica, já que dá nome a uma classe gramatical, sendo portanto um substantivo. Em contraste, são heterológicas: "Longo", "monossilábico", "adjetivo", "verbo", "mosca" e "palavrão". Agora, para perceber o paradoxo, observe a palavra "heterológico". Se essa palavra for autológica, então ela descreve a si mesma, sendo portanto... heterológica (e não autológica). Por outro lado, se essa palavra for heterológica, então ela não qualifica a si mesma e portanto não é... heterológica.

      Podemos sintetizar esse paradoxo da seguinte maneira:

   1-Se a palavra "heterológica" for autológica, então ela é heterológica. Essa situação é impossível.

   2-Se a palavra "heterológica" for heterológica, então ela não é heterológica. Essa outra situação também é impossível.

     Outro ponto do paradoxo é a palavra "autológica". Essa palavra pode ser autológica, sem nenhum problema; e pode também ser heterológica. A contradição está no fato de uma mesma palavra poder ser autológica e heterológica, ou seja, descrever a si mesma e não descrever a si mesma, o que obviamente é impossível.

                                                             Teorema da impossibilidade de Arrow

     O Teorema da impossibilidade de Arrow diz que a soma das racionalidades individuais não produz uma racionalidade coletiva e é atribuído ao economista prêmio Nobel de 1972 Kenneth Arrow.

       Experimento

     Segundo o teorema são definidos alguns postulados matemáticos que caracterizam o comportamento racional de um indivíduo; depois vários indivíduos são colocados juntos para ver se o grupo também segue o mesmo comportamento. A conclusão ao observar o resultado é a impossibilidade de obter essa informação de antemão.

     Resumindo, no mundo da economia o todo não só é maior como também pode ser bem diferente da soma das partes. O coletivo têm regras próprias de funcionamento e uma racionalidade diferente das individuais.

     Exemplo: Se um indivíduo vê uma árvore carregada de frutos e outra quase vazia, a racionalidade individual diz que este indivíduo subirá na árvore carregada; no entanto, na racionalidade coletiva não há como prever se todos subirão na árvore carregada, já que a decisão coletiva prejudica o indivíduo.

      Definição

     A definição se baseia na busca por um sistema de votação ideal, que transforma um conjunto de listas de preferências em uma lista global com as preferências da sociedade. Deste modo, o teorema considera as seguintes propriedades (por serem igualmente desejadas em um sistema de votação justo):

      Não ditatorial

     A função de bem-estar social deve considerar as preferências de múltiplos participantes. Ela não pode simplesmente considerar as preferências de um único participante (chamado de ditador).

      Domínio irrestrito

     A função de bem-estar social deve ser definida para qualquer conjunto de preferências.

      Independência das alternativas irrelevantes

    A função de bem-estar social deve fornecer a mesma avaliação tanto para um subconjunto de preferências quanto para o conjunto completo das mesmas. As mudanças das preferências sob as alternativas irrelevantes, isto é, aquelas que estão fora do conjunto, não devem ter impacto na preferência geral da sociedade sobre o subconjunto em questão.

       Unanimidade

     Se todos participantes preferem uma certa alternativa a outra, então esta deve ser a preferência da sociedade.